已知 $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$，其中 $b > 0, d > 0$ 或 $b < 0, d < 0$ （即 $b,d$ 同号），

证明：$\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}$

1. 证明左侧不等式

由已知条件得：

$\frac{a}{b} < \frac{c}{d} \Rightarrow ad < bc$

考虑差值：

$\frac{a+c}{b+d} - \frac{a}{b} =$ $\frac{b(a+c) - a(b+d)}{b(b+d)} =$ $\frac{bc - ad}{b(b+d)}$

由于 $bc - ad > 0$ 且 $b(b+d) > 0$，得：

$\frac{a+c}{b+d} - \frac{a}{b} > 0$ $\Rightarrow \frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d}$

2. 证明右侧不等式

考虑差值：

$\frac{c}{d} - \frac{a+c}{b+d} =$ $\frac{c(b+d) - d(a+c)}{d(b+d)} =$ $\frac{bc - ad}{d(b+d)}$

由于 $bc - ad > 0$ 且 $d(b+d) > 0$，得：

$\frac{c}{d} - \frac{a+c}{b+d} > 0$ $\Rightarrow \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}$

综上，

$\frac{a}{b} < \frac{a+c}{b+d} < \frac{c}{d}$